TEOREMA DE PITÁGORAS, MÁS QUE TRIÁNGULOS...

 Representación de un ejemplo
del teorema de
Pitágoras con papiroflexia modular

Cordial saludo amigos lectores. Muchas gracias por visitarme. El día de hoy compartiré mi pensamiento, experiencia y recomendaciones, en relación a uno de los teoremas o hallazgos más importantes de la geometría euclidiana y por qué no decirlo, de la historia de la humanidad: El Famoso Teorema de Pitágoras. Sobre este grandioso descubrimiento hay muchos aspectos por abordar, pero en esta ocasión me remitiré específicamente a su uso y recomendaciones al abordarlo en el contexto escolar.

Como docente de matemáticas de la educación básica secundaria y media en Colombia, me parece bastante curioso e inquietante que el estudio de este teorema se inicie generalmente desde la educación básica secundaria en el grado octavo. Lo mas preocupante es la poca comprensión que tienen nuestros estudiantes, en cuanto a su uso e importancia en la resolución de situaciones problemas y de sus implicaciones para otros saberes.

Posiblemente, una de las razones radique en la interpretación que hacemos los docentes, con respecto a las orientaciones emanadas desde el Ministerio de Educación Nacional, porque de acuerdo a los estándares básicos de competencias, en los conjuntos de grados octavos y novenos menciona de manera explícita que el estudiante "Al terminar el grado noveno el estudiante debe reconoce y contrastar propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales)" (MEN, 2006). Al parecer, no hay orientaciones claras con respecto a su aprendizaje desde la educación básica primaria y evidentemente cuando los jóvenes se enfrentan a este teorema en la secundaria, se convierte en un obstáculo en su aprendizaje.

A mis amigos lectores les planteo las siguientes preguntas. Si no sabe, investigue rápidamente:

1. ¿Qué entiende usted del Teorema de Pitágoras? Explicación breve. si no sabe consulte en diez minutos máximo.
2. Con la consulta anterior o con lo que sabe actualmente, ¿Es posible explicar a un niño de 9 años, realmente lo que plantea el teorema de Pitágoras?
3. ¿Sería capaz de explicarlo a un adulto que no tenga una educación formal?
4. ¿Qué tan asombroso o curioso consideras que es este teorema?
5. ¿Cuáles serían las aplicaciones del teorema de Pitágoras? 

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Una posible idea, para dar una respuesta a las preguntas propuestas, podría ser remitirnos a Wikipedia, en la cual podemos encontrar que "Es la proposición mas conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática...En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" Teorema de Pitágoras. (2020, 31 de mayo). Wikipedia, La enciclopedia libre. Tomado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras. 


Pero tal vez no prefiera una definición textual, en ocasiones en mejor una figura o un esquema es mejor:

Esquema del Teorema de Pitágoras
(El triángulo debe ser rectángulo)

Tranquilos. No importa. En caso de no tener las respuestas precisas a las preguntas anteriores, no se angustie. La idea central de esta publicación es proponer unas actividades que permitan una aproximación a conceptos geométricos y lograr comprender este teorema de una manera didáctica. Nos aproximaremos a cierto grado de comprensión del teorema, a través diferentes materiales didácticos concretos y situaciones reales. 

Para aquellos que han tenido cierta aproximacion o han estudiando anteriormente este teorema, en el título de esta publicación he escrito "más que triángulos", porque estamos acostumbrados a que el teorema de Pitágoras hace referencia, principalmente, a triángulos rectángulos, pero este teorema alude inicialmente a una figura geométrica plana, que en el momento de explicarlo a nuestros estudiantes, en el salón de clases, se nos olvida dibujar: cuadrados, específicamente a la comparación entre las áreas de dos cuadrados en relación a un tercer cuadrado. Pero el asunto es mas interesante, porque existe una generalización de este teorema que hace referencia a la relación entre las áreas de polígonos regulares. Es precisamente esta última aproximación, a través de la comparación entre las áreas de los polígonos regulares, la que tiene poco protagonismo en las aulas de las clases de matemáticas y a la cual se están viendo enfrentados nuestros jóvenes cuando presentan las pruebas saber en el grado noveno y undécimo.

La propuesta:

Para iniciar en la comprensión, vamos a realizar la primera actividad, espero que sigan al pie de la letra las indicaciones. ¡Manos a la obra!

Actividad:

Para explicar la primera actividad, es necesario tener los siguientes elementos:

• Descargar la plantilla en pdf presionando el siguiente botón o dibujarla en hojas de cuaderno y recortarlas.

• Si va a imprimir el archivo, puede emplear hojas tamaño oficio o tamaño A4

• La actividad es muy interesante cuando se trabaja en grupo, se recomienda grupos de dos o tres estudiantes. Entregar a cada grupo un par de cuadrados de las plantillas. En esta plantilla hay cuatro pares de cuadrados. Sin embargo, debido a la situación actual, debemos desarrollarla de manera individual. Para iniciar, recortamos el siguiente par de cuadrados:

Debe recortar los dos cuadrados

Explicación de la actividad:

A continuación voy a explicar el procedimiento con un par de cuadrados:

Antes de iniciar es importante reforzar el concepto de área. Recordemos que el área de una figura plana es una comparación entre una unidad que hemos establecido como patrón de medida, en nuestro caso un cuadrado pequeñito y cada uno de los cuadrados grandes que fueron entregados en la plantilla.

Tomamos un par de cuadrados, en el ejemplo tomaré un cuadrado de área 9 y otro de área 16, tal como aparece abajo. Le preguntamos a nuestros estudiantes y le pregunto a usted lector, si es posible, recortando con tijeras las unidades de uno o los dos cuadrados, formar un cuadrado obviamente mas grande. Debemos indicarles que en un cuadrado la base debe ser igual a la altura:

Para los dos cuadrados anteriores, vamos a recortar solamente el primer cuadrado y distribuimos las unidades adyacentes en la base y al lado derecho del cuadrado de área 16. Prácticamente es armar un rompecabezas. Recuerde que también pueden recortar los dos cuadrados.

Finalmente mostramos que fue posible formar el tercer cuadrado de área 25, que resulta igualmente de sumar 9 + 16. Indicar siempre que en el cuadrado, la base debe ser igual a la altura, es común que se les olvide y construyan rectángulos.

Una vez terminado el ejemplo, procedemos a formar el tercer cuadrado con cada par de triángulos que aparece en la plantilla que imprimió o que dibujó. Generalmente cuando se enfrenten a la actividad, no hay dificultad para los estudiantes, sin embargo, es importante verificar que realmente se formen cuadrados y no rectángulos. Verifique que efectivamente formó cuadrados.

Antes de continuar,

tome varias fotos de las construcciones que realizó 

y guárdelas en un archivo en Word.

Una vez terminada la actividad anterior con todos los cuadrados, nos planteamos la siguiente pregunta:

¿Será que siempre es posible, dados dos cuadrados,  
formar el tercer cuadrado empleando este procedimiento?

Ahora intente realizar el procedimiento anterior con el siguiente par de cuadrados:

   Área = 4                         Área = 9

Recordemos que debe formar un cuadrado de área 13 cuadraditos, pero debe ser un cuadrado.

Realice el procedimiento anterior antes de continuar

¿Ya entendió la dificultad? Por mas que busquen formar diversas configuraciones o movimiento de las unidades, resulta casi imposible, armar el tercer cuadrado cuya área sea igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados anteriores, en este caso 13 unidades. Es posible que algunos expongan configuraciones que no son cuadrados, otros recortarán las unidades, pero este procedimiento no está permitido en el desarrollo de la actividad, porque cortar estas unidades nos daría una respuesta desprovista de precisión, exactitud y no obtendríamos realmente un cuadrado.

Pero entonces, ¿Será que existe un método que nos permita encontrar ó construir el cuadrado cuya área sea la suma de los dos cuadrados anteriores?

La respuesta es SÍ. Aunque nos sorprenda. Es el famoso Teorema de Pitágoras. El procedimiento es sencillo y consiste simplemente en unir los dos cuadrados en uno de sus vértices formando entre ellos un ángulo recto, es decir de 90 grados. Veamos la Figura 1.

Posteriormente unimos los vértices superiores derechos mediante una linea recta. (Ver figura 2)

                                                 

                                                                                                                                     Figura 1.           

Finalmente construimos con escuadra un cuadrado sobre esta línea (roja). La construcción resultante sería:

                                                                  

                                                        Figura 2.

Este nuevo cuadrado obtenido sobre la linea roja, será el cuadrado que buscamos y exactamente tendrá el área de 13 unidades. Este método es mas sencillo que recortar con tijeras las unidades y es exacto.

Ya sabemos que el cuadrado tiene de área 13 unidades, nos preguntamos, ¿Cuál será la medida del lado de este nuevo cuadrado?

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  Figura 3.

Observemos intuitivamente en la siguiente tabla que:

Cuadrado	Área	Medida del lado
	4	2
	9	3
	16	4
	25	5
	36	6

Según la tabla anterior, ¿Cual es la operación matemática que nos permite obtener la medida del lado de un cuadrado, dada su área?

Antes de continuar, revise la tabla anterior 
y responda la pregunta propuesta

Efectivamente, esta operación es la RAÍZ CUADRADA del área del cuadrado. Por ejemplo, si el área es 36, entonces la medida del lado será  cuyo resultado es 6, que corresponde a la medida del lado del cuadrado.

Es decir que si el cuadrado tiene de área 13 unidades, entonces la medida del lado de este cuadrado será es decir, aproximadamente 3,6. 

La recomendación es que cuando nos enfrentemos al Teorema de Pitágoras realicemos siempre la construcción de los tres cuadrado con los instrumentos de trazo y medida y elaboremos los procesos en la misma construcción. Al resolver un problema mediante este esquema, evidentemente se observa que los cuadrados que se deben sumar son los que forman el ángulo recto. Es importante prestar atención al tamaño de los cuadrados, en ocasiones, algunos estudiantes interiorizan que deben sumar dos cuadrados para obtener un tercer cuadrado, pero se les dificulta tener certeza sobre los cuadrados que se deben sumar. En este caso, deben visualizar el tamaño de los cuadrados, es decir que la suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños, obviamente debe dar como resultado el área del cuadrado grande. La visualización es una herramienta que nos permitirá tener un punto de referencia en la resolución de situaciones que involucren el empleo de este teorema.

Autoevaluación:

Como una autoevaluación, propongo las siguientes preguntas se deben resolver en los comentarios de esta publicación. Le permitirá verificar la asimilación de saberes.

Se activirá el jueves. Después de activado este botón, 

se desactivarán los comentarios de esta publicación.

Aplicaciones a situaciones problemas:

En el siguiente recurso educativo encontrará una situación problema y tres vídeos publicados en mi canal de YouTube, que le permitirán afianzar, reforzar y tener su propia postura frente a las recomendaciones planteadas en esta publicación. Muchas gracias.

Situación problema a resolver:

Debe reflexionar sobre los aprendizajes adquiridos

Registre estos aprendizajes en los comentarios de cada vídeo

que encontrará a continuación. 

Son tres vídeos:

Solución:

Parte a.

Parte b.

Parte c.
 

BIBLIOGRAFÍA

• Ministerio de Educación Nacional. Estándares Básicos de Competencias en Lenguaje, Matemáticas, Ciencias y Ciudadanas. Bogotá, 2006.

• Ministerio de Educación Nacional. Lineamientos Curriculares de Matemáticas. Bogotá, 1998.

• Ministerio de Educación Nacional. Vamos a aprender Matemáticas. Bogotá, 2017.

• Boyer, Carl B. Historia de la matemática. Madrid: Alianza, 2007.

• Duval, R. (2004). Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales. Peter Lang-Universidad del Valle. Cali.

• Ministerio de Educación Nacional. Nuevas tecnologías y currículo de matemática. Serie Lineamientos Curriculares. Punto EXE Editores. Bogotá, 1999.

• Teorema de Pitágoras. (2018, 19 de febrero). Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 08:08, febrero 21, 2018 desde https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_Pit%C3%A1goras&oldid=105695801.

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